Nuestro malabarista de la semana pasada no tomó la mejor decisión al pasar por un puente tan precario lanzando sus bolos al aire. La fuerza ejercida sobre el puente al lanzarlos verticalmente hacia arriba, así como al atraparlos de nuevo, es mayor que su peso en reposo. Ni siquiera un malabarista puede ignorar la tercera ley de Newton.

Algunos lectores han sugerido usar una báscula para comprobar y cuantificar este efecto. Si tienes en casa una báscula de baño y un techo lo suficientemente alto, puedes intentar —bajo tu responsabilidad— el siguiente experimento: coge un objeto de un kilo o más (un brik de cualquier líquido, por ejemplo), súbete a la báscula con él en las manos y lánzalo ligeramente hacia arriba sin perder de vista el marcador de la báscula. Notarás que en el momento del lanzamiento y al recuperar el objeto, la aguja se desplaza ligeramente hacia la derecha.

Más información

El problema del malabarista recuerda uno que se planteó hace muchos años en un examen de física de una escuela de ingeniería y que, en su momento, se hizo famoso:

Sobre una báscula hay una jaula que, estando vacía, pesa un kilo con un pajarito de 30 gramos posado en su balancín. De pronto, el pájaro comienza a revolotear dentro de la jaula. ¿Cuánto marca la aguja de la báscula?

Una variación sobre el mismo tema:

Ahora es una pequeña pecera con un pez la que está sobre la báscula. La pecera y el agua pesan un kilo y el pez 30 gramos. De pronto, el pez salta fuera del agua y vuelve a caer en la pecera. ¿Cómo repercute este salto en la aguja de la báscula?

Y una variación sobre la variación:

En la pecera de antes, con la misma cantidad de agua, no hay un pez sino una bola de hierro que pesa un kilo descansando en el fondo. Si metes la mano en la pecera y sacas la bola de hierro, ¿qué marca la aguja de la báscula en los distintos momentos de esta acción?

La equivalencia de los sobres y los puentes

Y de un problema sobre un puente (en ambos sentidos de la palabra) a otro de sobres y puentes paralelos:

El famoso recorrido por los 7 puentes de Königsberg no era posible porque a las cuatro partes de la ciudad les correspondía un número impar de puentes: 5 a una de las islas, 3 a la otra, 3 a la margen derecha del río y 3 a la izquierda (suman 14, aunque cada puente se cuenta dos veces). Por lo tanto, sin importar dónde comenzaras, si recorrías todos los puentes sin repetir ninguno, tendrías que terminar el recorrido en tres partes a la vez, lo cual es imposible. Para que el recorrido euleriano fuera posible empezando en una zona y terminando en otra (como ocurre en la actual Kaliningrado), dos zonas deberían tener un número par de puentes y dos un número impar.

Al pasar de Königsberg a Kaliningrado y de 7 puentes a 5, hay 21 parejas de puentes distintas que podrían haber desaparecido (7×6/2). Y 15 de estas parejas, al desaparecer, dejan dos zonas con un número par de puentes y las otras dos con un número impar. Por ejemplo, si eliminamos los puentes marcados en la figura (que a primera vista parecen los más prescindibles), ambas islas quedan con 3 puentes y ambas orillas con 2. Por lo tanto, necesitamos algún dato adicional para saber cuál de las 15 parejas de puentes posibles ha sido eliminada. Lo que podemos afirmar es que, sean cuales fueren los puentes desaparecidos, ahora el problema -resoluble- de los puentes de Kaliningrado es equivalente al archiconocido de dibujar un sobre abierto sin levantar el lápiz del papel ni pasar dos veces por el mismo trazo. ¿Ves la equivalencia? Y no digas que las zonas de Kaliningrado son 4 mientras que el sobre tiene 5 vértices (¿por qué no has de decirlo?).

Y puesto que llevamos un par de semanas hablando de grafos, aunque sin apenas nombrarlos, aprovecho para recomendar una vez más el estupendo y divertido libro de Clara Grima En busca del grafo perdido. Como dije en su día, al empezar a leerlo pensé: “¿Por qué no lo habré escrito yo?”, pero al acabarlo me dije: “Es mejor que lo haya escrito ella”.